一、模型介绍

概率图模型是一类用图来表达变量相关关系的概率模型。它以图为表示工具，最常见的是用一个节点表示一个或一组随机变量，结点之间的边表示变量间的概率相关关系，即”变量关系图”。

根据边的性质不同，概率图模型可大致分为两类：第一类是使用有向无环图表示变量间的依赖关系，称为有向图模型或贝叶斯网；第二类是使用无向图表示变量间的相关关系，称为无向图模型或马尔可夫网。

隐马尔科夫模型(Hidden Markov Model，简称HMM)是结构最简单的动态贝叶斯网，这是一种著名的有向图模型，主要用于时序数据建模，在语音识别、自然语言处理等领域有广泛应用。

马尔可夫模型（Markovmodel）描述了一类重要的随机过程，随机过程又称随机函数，是随时间而随机变化的过程。因此，我们要解决的就是描述系统随时间的变化情况。

1、算法模型

隐马尔科夫模型的图结构如下：

隐马尔可夫模型中的变量可分为两组：

第一组是状态变量$ {y_1,y_2,…,y_n}$ ，其中$ y_i \in \mathcal{Y}$ 表示第$ i$ 时刻的系统状态。通常假定状态变量是隐藏的、不可被观测的，因此状态变量亦称隐变量。下面用$ I=(i_1,i_2,…,i_T)$ 来表示
第二组是观测变量$ {x_1,x_2,…,x_n}$ ，其中$ x_i \in \mathcal{X}$ 表示第$ i$ 时刻的观测值。下面用$ O=(o_1,o_2,…,o_T)$ 来表示。

设$ Q$ 是所有可能的状态的集合，$ V$ 是所有可能的观测的集合：
$Q=\{q_1,q_2,...,q_N\},\qquad V=\{v_1,v_2,..,v_M\}$
其中$ N$ 是可能的状态数，$ M$ 是可能的观测数。

隐马尔可夫模型的假设

隐马尔可夫模型作了两个基本假设：

齐次马尔可夫假设，即假设隐藏的马尔可夫链在任意时刻$ t$ 的状态只依赖于前一时刻的状态，与其他时刻的状态及观测无关，也于时刻$ t$ 无关。
观测独立性假设，即假设任一时刻的观测只依赖于该时刻的马尔科夫链的状态，与其他观测及状态无关。

这就是所谓的”马尔科夫链“，也称为一阶马尔可夫模型：即系统下一时刻的状态仅由当前状态决定，不依赖于以往的任何状态。若状态转移依赖于前n个状态，则称为n阶马尔可夫模型。

2、隐马尔可夫模型的其他参数

除了上面我们介绍的一些参数，如果想要完整的构建这样一个马尔可夫模型，还有要一些其他参数

状态转移概率

表示模型在各个状态间转换的概率，通常记为矩阵$ A=[a_{ij}]_{N\times N}$ :

$a_{ij} = P(i_{t+1}=q_j|i_t=q_i),\qquad\qquad 1\le i,j\le N$

表示在任意时刻$ t$ ，若状态为$ q_i$ ，则在下一时刻状态为$ q_j$ 的概率。

输出观测概率

模型根据当前状态获得各个观测值的概率，通常记为矩阵$ B=[b_{ij}]_{N\times M}$ :

$b_{ij} = P(o_t = v_j|i_t=q_i),\qquad 1\le i\le N,1\le j\le M$

表示在任意时刻$ t$ ，若状态为$ q_i$ ，则观测值$ v_j$ 被获取的概率

初始状态概率

模型在初始时刻各状态出现的概率，通常记为$ \pi = (\pi_1,\pi_2,…,\pi_N)$ :

$\pi_i = P(i_1=q_i),\qquad 1\le i\le N$

表示模型的初始状态为$ q_i$ 的概率。

3、隐马尔可夫模型构建过程

隐马尔可夫模型由初始状态概率向量$ \pi$ ，状态转移概率矩阵$ A$ 和观测概率矩阵$ B$ 决定，$ \pi$ 和$ A$ 决定状态序列，$ B$ 决定观测序列。因此，隐马尔可夫模型$ \lambda$ 可以用三元符号表示，即

$\lambda = (A,B,\pi)$

$ A,B,\pi$ 称为隐马尔可夫模型的三要素。

当我们已知马尔可夫模型时，其输出一个长度为$ T$ 的观测序列$ O=(o_1,o_2,…,o_T)$ 的生成过程为：

设置$ t=1$ ，并根据初始状态概率$ \pi$ 来选择初始状态$ i_1$ ;
根据状态$ i_t$ 和输出观测概率$ B$ 选择观测变量取值$ o_t$ ;
根据状态$ i_t$ 和状态转移矩阵$ A$ 转移模型状态，即确定$ i_{t+1}$ ;
若$ t<n$ ，设置$ t=t+1$ ，并转移到第2步，否则停止。

4、隐马尔可夫模型的确定—示例

假设我们有3个盒子，每个盒子里都有红色和白色两种球，这三个盒子里球的数量分别是：

在这个例子中，有两个随机序列，一个是盒子的序列（状态序列），一个是球的颜色的观测序列（观测序列）。前者是隐藏的，只有后者是可观测的。这是一个隐马尔可夫模型的例子，根据所给条件，可以明确状态机和、观测集合、序列长度以及模型的三要素：

盒子对应状态，状态的集合是：

$Q=\{盒子1,盒子2,盒子3,盒子4\},\qquad N=4$

球的颜色对应观测，观测的集合是：

$V=\{红,白\},\qquad M=2$

状态序列和状态观测序列T=5.

初始概率分布为：

$\pi = (0.25,0.25,0.25,0.25)^T$

状态转移概率分布为：

$A= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0.4 & 0 & 0.6 & 0 \\ 0 & 0.4 & 0 & 0.6 \\ 0 & 1 & 0.5 & 0.5 \end{matrix} \right] \tag{3}$

观测概率分布为：

$A= \left[ \begin{matrix} 0.5 & 0.5\\ 0.3 & 0.7\\ 0.6 & 0.4\\ 0.8 & 0.2 \end{matrix} \right] \tag{3}$

5、隐马尔可夫模型的三个基本问题

概率计算问题：给定模型$ \lambda=(A,B,\pi)$ 和观测序列$ O=(o_1,o_2,…,o_T)$ ，计算在模型$ \lambda$ 下观测序列$ O$ 出现的概率$ P(O|\lambda)$ 。
学习问题：给定观测序列$ O=(o_1,o_2,…,o_T)$ ，如何调整模型参数$ \lambda=[A,B,\pi]$ 使得该序列出现的概率$ P(x|\lambda)$ 最大？即用极大似然估计、EM算法的方法估计参数
预测问题，也称为解码问题：给定模型$ \lambda=[A,B,\pi]$ 和观测序列$ O=(o_1,o_2,…,o_T)$，求对给定观测序列条件概率$ P(I|O)$ 最大的状态序列$ I=(i_1,i_2,…,i_T)$ 。即给定观测序列，求最有可能的对应的状态序列。

对应三个基本问题的使用场景如下：

概率计算问题：许多任务中需根据以往的观测序列$ {x_1,x_2,…,x_{n-1}}$ 来推测当前时刻最有可能得观测值$ x_n$ ，这显然可转换为求取概率$ P(x|\lambda)$ 。
学习问题：在大多数显示应用中，人工置顶模型参数已变得越来越不可行，如何根据训练样本学得最优得模型参数？
预测问题：在语音识别等任务中，观测值为语音信号，隐藏状态为文字，目标就是根据观测信号来推断最有可能的状态序列（即对应的文字）

参考链接